二叉树

引言

二叉树（Binary Tree）是每个节点最多只有两个子节点（left、right）的树结构。

      1
     / \
    2   3

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;

    TreeNode() {}

    TreeNode(int val) {
        this.val = val;
    }

    TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
        this.val = val;
        this.left = left;
        this.right = right;
    }
}

二叉树有几种常见的分类：

满二叉树 Full Binary Tree

每个节点要么是 没有子节点，要么同时有 两个子节点。

        1
      /   \
     2     3
    / \   / \
   4  5  6   7

完全二叉树- Complete Binary Tree

除了最后一层外，其他层都必须是满的。 最后一层的节点从左向右连续排列，中间不能断。

        1
      /   \
     2     3
    / \   /
   4  5  6

二叉搜索树 - Binary Search Tree

对于任意一个节点：

• 左子树所有值 < 当前节点值
• 右子树所有值 > 当前节点值
• 左右子树本身也是 BST

        5
      /   \
     3     7
    / \   / \
   2  4  6   9

中序遍历（左→根→右）会得到严格递增序列：[2, 3, 4, 5, 6, 7, 9]。

堆- Heap

与之相关，我们说说堆这个概念。堆是建立在上述完全二叉树基础上的一个结构，再加上堆序性质（Heap Property）。

堆的两种常见形式：

最大堆（Max-Heap）：

• 每个节点都 ≥ 子节点
• 根节点是整个树的最大值

        10
      /    \
     8      7
    / \    /
   5   3  6

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Collections;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 最大堆
        PriorityQueue<Integer> maxHeap =
                new PriorityQueue<>(Collections.reverseOrder());

        maxHeap.offer(3);
        maxHeap.offer(1);
        maxHeap.offer(5);

        // 输出：5 3 1
        while (!maxHeap.isEmpty()) {
            System.out.print(maxHeap.poll() + " ");
        }
    }
}

最小堆（Min-Heap）：

• 每个节点都 ≤ 子节点
• 根节点是整个树的最小值

        1
      /   \
     3     2
    / \   /
   7  6  4

import java.util.PriorityQueue;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 最小堆（默认）
        PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();

        minHeap.offer(3);
        minHeap.offer(1);
        minHeap.offer(5);

        // 输出：1 3 5
        while (!minHeap.isEmpty()) {
            System.out.print(minHeap.poll() + " ");
        }
    }
}

自定义对象的堆：

PriorityQueue<TreeNode> pq = new PriorityQueue<>(
    (a, b) -> a.val - b.val   // 最小堆
);

PriorityQueue<TreeNode> pq = new PriorityQueue<>(
    (a, b) -> b.val - a.val   // 最大堆
);

顺序存储（数组）

完全二叉树与堆结构紧凑，没有空洞，所以非常适合用数组连续存储。

数组存储方式（从 0 开始）：

对某一节点 i：

• 左孩子：2*i + 1
• 右孩子：2*i + 2
• 父节点：(i - 1) / 2

        arr[0]=1
      /         \
 arr[1]=2     arr[2]=3
   /  \         /
 4    5       6

树结构
        1
      /   \
     3     2
    / \   /
   7  6  4

数组表示
index: 0 1 2 3 4 5 
value: 1 3 2 7 6 4

int[] heap = {1, 3, 2, 7, 6, 4};

int i = 2;
int left = 2 * i + 1;
int right = 2 * i + 2;
int parent = (i - 1) / 2;

平衡二叉树 - Balanced BST

平衡树是一种在插入、删除后自动调整结构，使整棵树高度保持在 O(log n) 的二叉搜索树，从而保证查找、插入、删除等操作在最坏情况下仍能做到 O(log n)，其意义在于避免普通 BST 因数据顺序不佳而退化成链表。常用的实现方式主要有两类：如 AVL Tree，通过维护节点高度并在失衡时做旋转，实现非常严格的平衡、查找更快；以及 Red-Black Tree，通过颜色规则和较宽松的平衡要求，让插入/删除旋转更少、整体性能稳定，是实际工程（如 C++ map/set、Java TreeMap）中最常用的平衡树。平衡树也广泛用于实现数据库索引（如 B+ 树）。

在二叉搜索树的基础上，额外限制：任何节点的左右子树高度差 ≤ 1

        4
      /   \
     2     6
    / \   / \
   1  3  5   7

• TreeMap / TreeSet 底层是红黑树
• 红黑树不追求最严格平衡，但保证 O(log n)
• 相比 AVL，红黑树插入/删除旋转更少

题目

1. 二叉树的递归遍历

前序遍历：Root → Left → Right

LT.144. Binary Tree Preorder Traversal

class Solution {
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        dfs(root, res);
        return res;
    }

    private void dfs(TreeNode node, List<Integer> res) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        res.add(node.val);
        dfs(node.left, res);
        dfs(node.right, res);
    }
}

// time: O(n)
// space: O(h) where h is the height of the tree
//             worst O(n), if balanced O(log n)

后序遍历：Left → Right → Root

LT.145. Binary Tree Postorder Traversal

class Solution {
    public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        dfs(root, res);
        return res;
    }

    private void dfs(TreeNode node, List<Integer> res) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        dfs(node.left, res);
        dfs(node.right, res);
        res.add(node.val);
    }
}

// time: O(n)
// space: O(h)

中序遍历：Left → Root → Right

LT.94. Binary Tree Inorder Traversal

class Solution {
    public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        dfs(root, res);
        return res;
    }

    private void dfs(TreeNode node, List<Integer> res) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        dfs(node.left, res);
        res.add(node.val);
        dfs(node.right, res);
    }
}

// time: O(n)
// space: O(h)

2. 二叉树的迭代遍历

LT.144. Binary Tree Preorder Traversal

前序遍历：Root → Left → Right

• 用栈模拟递归
• 先压右，再压左（这样出栈时先处理左）

class Solution {
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();
        stack.push(root);
        while (!stack.isEmpty()) {
            TreeNode node = stack.pop();
            res.add(node.val);
            if (node.right != null) {
                stack.push(node.right);
            }
            if (node.left != null) {
                stack.push(node.left);
            }
        }
        return res;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(n)

后序遍历：Left → Right → Root

LT.145. Binary Tree Postorder Traversal

后序是“左右根”，不好直接用栈。做法是记录上一次访问的节点 prev，判断右子树是否已经处理过。

1. 一路向左入栈
2. 查看栈顶：
   • 若右子树存在且未访问 → 转向右子树
   • 否则 → 访问当前节点并出栈

class Solution {
    public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();
        TreeNode cur = root, prev = null;

        while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) { // keep going left
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode node = stack.peek();
            if (node.right != null && node.right != prev) {
                cur = node.right; // go to unvisited right subtree
            } else {
                res.add(node.val); // left and right all visited
                prev = node;
                stack.pop();
            }
        }

        return res;
    }
}
// time: O(n)
// space: O(n)

中序遍历：Left → Root → Right

LT.94. Binary Tree Inorder Traversal

一路向左压栈，直到空；弹栈访问；转向右子树。

class Solution {
    public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
            // keep going left
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            // visit
            cur = stack.pop();
            res.add(cur.val);
            // go to the right subtree
            cur = cur.right;
        }
        return res;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(n)

3. 二叉树层序遍历

LT.102. Binary Tree Level Order Traversal

class Solution {
    public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            List<Integer> level = new ArrayList<>();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                level.add(node.val);
                if (node.left != null) {
                    queue.add(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.add(node.right);
                }
            }
            res.add(level);
        }
        return res;
    }
}
// time: O(n)
// space: O(n)

LT.107. Binary Tree Level Order Traversal II

class Solution {
    public List<List<Integer>> levelOrderBottom(TreeNode root) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            List<Integer> level = new ArrayList<>();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                level.add(node.val);
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            res.add(level);
        }

        Collections.reverse(res);
        return res;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(n)

LT.199. Binary Tree Right Side View

class Solution {
    public List<Integer> rightSideView(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);
        
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                if (i == size - 1) {
                    res.add(node.val);
                }
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

LT.637. Average of Levels in Binary Tree

class Solution {
    public List<Double> averageOfLevels(TreeNode root) {
        List<Double> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);

        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            long sum = 0;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                sum += node.val;
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            res.add((double) sum / size);
        }
        return res;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(n)

LT.429. N-ary Tree Level Order Traversal

/*
// Definition for a Node.
class Node {
    public int val;
    public List<Node> children;

    public Node() {}

    public Node(int _val) {
        val = _val;
    }

    public Node(int _val, List<Node> _children) {
        val = _val;
        children = _children;
    }
};
*/

class Solution {
    public List<List<Integer>> levelOrder(Node root) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Queue<Node> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);

        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            List<Integer> level = new ArrayList<>();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                Node node = queue.poll();
                level.add(node.val);
                if (node.children != null) {
                    for (Node child : node.children) {
                        queue.offer(child);
                    }
                }
            }
            res.add(level);
        }

        return res;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(n)

LT.515. Find Largest Value in Each Tree Row

class Solution {
    public List<Integer> largestValues(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                max = Math.max(max, node.val);
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            res.add(max);
        }
        return res;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(n)

LT.116. Populating Next Right Pointers in Each Node

class Solution {
    public Node connect(Node root) {
        if (root == null) {
            return root;
        }
        Queue<Node> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            Node pre = null;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                Node node = queue.poll();
                if (pre != null) {
                    pre.next = node;
                }
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
                pre = node;
            }
        }
        return root;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(n)

这题其实有空间 O(1) 的遍历方式，利用已建立的 next 指针，逐层连接:

• 从最左节点开始，按层遍历（不需要队列）。
• 对于当前层的每个节点 cur：
  • 同一父节点内：cur.left.next = cur.right
  • 跨父节点：如果 cur.next != null，cur.right.next = cur.next.left
• 用 levelStart = levelStart.left 下沉到下一层。

class Solution {
    public Node connect(Node root) {
        if (root == null) {
            return root;
        }
        Node levelStart = root;
        while (levelStart.left != null) { // still child nodes to connect
            Node cur = levelStart;
            while (cur != null) {
                cur.left.next = cur.right;
                if (cur.next != null) {
                    cur.right.next = cur.next.left;
                }
                cur = cur.next;
            }
            levelStart = levelStart.left;
        }
        return root;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(1)

LT.117. Populating Next Right Pointers in Each Node II

利用已经建立好的 next 指针，像“链表”一样横向遍历当前层，同时构建下一层的 next 链表。dummy node 在这里也很有用，能简化实现。

• cur：当前层正在遍历的节点（沿 next 走）
• dummy：下一层的“虚拟头节点”
• tail：下一层链表的尾巴，用来不断接新节点

class Solution {
    public Node connect(Node root) {
        if (root == null) {
            return root;
        }
        Node cur = root;
        while (cur != null) {
            Node dummy = new Node();
            Node tail = dummy;
            while (cur != null) { // current level
                if (cur.left != null) {
                    tail.next = cur.left;
                    tail = tail.next;
                }
                if (cur.right != null) {
                    tail.next = cur.right;
                    tail = tail.next;
                }
                cur = cur.next;
            }
            // go to next level
            cur = dummy.next;
        }
        return root;
    }
}

// time: O(n)
// space: O(1)

LT.104. Maximum Depth of Binary Tree

• 树的高度 = 1 + max(左子树高度, 右子树高度)
• 空节点深度为 0
• 这是一个天然的 后序遍历 问题（先算左右，再算当前）

class Solution {
    public int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return 1 + Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right));
    }
}

// time: O(n)
// space: O(h)

LT.111. Minimum Depth of Binary Tree

class Solution {
    public int minDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);
        int depth = 1;
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                if (node.left == null && node.right == null) {
                    // leaf found
                    return depth;
                }
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            depth++;
        }
        return depth; // unreachable
    }
}
// time: O(n)
// space: O(n)

4. 翻转二叉树

LT.226. Invert Binary Tree

对每个节点：

• 递归翻转左子树
• 递归翻转右子树
• 交换当前节点的左右孩子

核心就在于后序遍历位置交换。

class Solution {
    public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return root;
        }
        TreeNode left = invertTree(root.left);
        TreeNode right = invertTree(root.right);
        root.left = right;
        root.right = left;
        return root;
    }
}
// time: O(n)
// space: O(h)

5. 对称二叉树

LT.101. Symmetric Tree

class Solution {
    public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }
        return isMirror(root.left, root.right);
    }

    private boolean isMirror(TreeNode t1, TreeNode t2) {
        if (t1 == null && t2 == null) {
            return true;
        }
        if (t1 == null || t2 == null) {
            return false;
        }
        if (t1.val != t2.val) {
            return false;
        }
        return isMirror(t1.left, t2.right) && isMirror(t1.right, t2.left);
    }
}

// time: O(n)
// space: O(h)

6. 二叉树的最大深度

LT.104. Maximum Depth of Binary Tree

class Solution {
    public int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return 1 + Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right));
    }
}

// time: O(n)
// space: O(h)

7. 二叉树的最小深度

LT.111. Minimum Depth of Binary Tree

class Solution {
    public int minDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(root);
        int depth = 1;
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                if (node.left == null && node.right == null) {
                    // leaf found
                    return depth;
                }
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            depth++;
        }
        return depth; // unreachable
    }
}
// time: O(n)
// space: O(n)

8. 完全二叉树的节点个数

LT.222. Count Complete Tree Nodes

最直接的是遍历节点来计算，以下是后序遍历：

class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
    }
}

// time: O(n)
// space: O(log n)

我们可以利用完全二叉树的性质避免不必要的遍历所有节点：

若一棵子树最左路径深度 == 最右路径深度，则它是满二叉树，节点数可直接用公式计算。

• 分别沿着 left.left... 和 right.right... 计算左右深度
• 若深度相等：直接返回 $2^{height} - 1$
• 若不相等： 递归统计左右子树节点数，再加上当前根节点

高度 vs 深度

一个节点的 depth，指的是 从根节点到该节点的距离（边数或层数）。

• 根节点的 depth 通常定义为 0（有时也定义为 1，取决于约定）
• depth 是 “向上看” 的概念

        A        depth(A) = 0
       / \
      B   C      depth(B) = 1
     /
    D            depth(D) = 2

一个节点的 height，指的是 从该节点到最远叶子节点的距离。

• 叶子节点的 height = 0（或 1，取决于约定）
• height 是 “向下看” 的概念

        A        height(A) = 2
       / \
      B   C      height(B) = 1
     /
    D            height(D) = 0

class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        TreeNode left = root.left;
        int leftHeight = 0; // the leftmost path
        while (left != null) {
            left = left.left;
            leftHeight++;
        }
        TreeNode right = root.right;
        int rightHeight = 0; // the rightmost path
        while (right != null) {
            right = right.right;
            rightHeight++;
        }
        if (leftHeight == rightHeight) { // perfect tree
            return (1 << (leftHeight + 1)) - 1;
        }

        return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
    }
}

// time: O(log n x log n)
// space: O(log n)

9. 平衡二叉树

LT.110. Balanced Binary Tree

判断一棵二叉树是否平衡（任意节点左右子树高度差 ≤ 1）:

• 用 DFS 后序遍历：先算左右子树高度，再判断当前节点是否平衡。
• 一旦发现某个子树不平衡，直接返回 -1 作为“哨兵值”，一路向上剪枝，不用再算高度。

class Solution {
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        return height(root) != -1;
    }

    private int height(TreeNode node) {
        if (node == null) {
            return 0;
        }
        int lh = height(node.left);
        if (lh == -1) {
            return -1;
        }
        int rh = height(node.right);
        if (rh == -1) {
            return -1;
        }
        if (Math.abs(lh - rh) > 1) {
            return -1;
        }
        return 1 + Math.max(lh, rh);
    }
}

// time: O(n)
// space: O(h)

10. 二叉树所有路径

LT.257. Binary Tree Paths

使用 String 每次修改会复制不需要回溯。

class Solution {
    public List<String> binaryTreePaths(TreeNode root) {
        List<String> res = new ArrayList<>();
        if (root == null) {
            return res;
        }
        dfs(root, "", res);
        return res;
    }

    private void dfs(TreeNode node, String path, List<String> res) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        path += node.val;
        // leaf node
        if (node.left == null && node.right == null) {
            res.add(path);
            return;
        }
        path += "->";
        dfs(node.left, path, res);
        dfs(node.right, path, res);
    }
}

// time: O(N + L)
// space: O(H + L)

// N: the number of nodes
// H: the height of tree
// L: the sum of length of all paths